Dossiers - ملفات

حول الخوارمي - Autour d'AL KHAWARIZMI 


AL-KHAWARIZMI



Abû `Abd Allah Muhammad ben Mūsā al-Khawārizmī né vers 780 à Khiva dans le Khwarezm qui a donné son nom, décédé vers 850 à Bagdad, mathématicien perse, est l'auteur de l'ouvrage intitulé "Al-ĵabr wa'l-muqābalah", qui signifie « La transposition et la réduction », publié en 825. Le terme al-jabr fut repris par les Européens et devint plus tard le mot algèbre. Son autre ouvrage, disparu, Kitāb "'al-ĵāmi` wa'l-tafrīq bī h'isāb ’al-Hind" « Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul indien »), est le premier à parler du système des chiffres indiens.

Le livre contient six courts chapitres, consacré chacun à un type particulier d'équation. Il ne contient aucun chiffre. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Le carré de l'inconnue est nommé «le carré» ou "mâl", l'inconnue est «la chose» ou "shay" ou" jidhr", la constante est le dirham.

Son nom, al-Khuwārizmī, latinisé au Moyen Âge en Algoritmi, puis en Algorisme par les Européens, est à l'origine du mot algorithme, qui veut dire « procédure ». En revanche le principe des algorithmes était connu depuis l'Antiquité (algorithme d'Euclide), et Donald Knuth mentionne même leur usage par les Babyloniens.


Rèf: http://www.jesuismort.com/biographie_celebrite_chercher/biographie-al_khawarizmi-5603.php


محمد بن موسى الخوارزمي

أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم رياضيات و فلك و جغرافيا ، ولد في خوارزم سنة 780 ،عمل في بيت الحكمة في بغداد وكسب ثقة الخليفة إذ ولاه المأمون بيت الحكمة كما عهد إليه برسم خارطة للأرض عمل فيها أكثر من 70 جغرافياً، وقبل وفاته في 850م/232 هـ  كان الخوازرمي قد ترك العديد من المؤلفات في علوم الفلك والجغرافيا من أهمها كتاب الجبر والمقابلة الذي يعد أهم كتبه وقد ترجم الكتاب إلى اللغة اللاتينية في سنة 1135م وقد دخلت على إثر ذلك كلمات مثل الجبر Algebra والصفر Zero إلى اللغات اللاتينية. كما ضمت مؤلفات الخوارزمي كتاب الجمع والتفريق في الحساب الهندي ، وكتاب رسم الربع المعمور ، وكتاب تقويم البلدان ، وكتاب العمل بالأسطرلاب ، و كتاب "صورة الأرض " الذي اعتمد فيه على كتاب المجسطي لبطليموس مع إضافات وشروح وتعليقات ، وأعاد كتابة كتاب الفلك الهندي المعروف باسم "السند هند الكبير" الذي ترجم إلى العربية زمن الخليفة المنصور قأعاد الخوارزمي كتابته وأضاف إليه وسمي كتابه "السند هند الصغير". وقد عرض في كتابه (حساب الجبر والمقابلة) أو (الجبر) أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.

ويعتبر مؤسس علم الجبر - اللقب الذي يتقاسمه مع ديوفانتس - في القرن الثاني عشر، قدمت ترجمات اللاتينية عن حسابه على الأرقام الهندية، النظام العشري إلى العالم الغربي. نقح الخوارزمي كتاب الجغرافيا لكلاوديوس بطليموس وكتب في علم الفلك والتنجيم. كان لاسهاماته تأثير كبير على اللغة. "فالجبر"، هو أحد من اثنين من العمليات التي استخدمهم في حل المعادلات التربيعية. في الإنجليزية كلمة Algorism و algorithm تنبعان من Algoritmi ، الشكل اللاتيني لاسمه. واسمه هو أصل الكلمة أسبانية guarismo والبرتغالية algarismo وهما الاثنان بمعنى رقم.


المصدر: وكيبيديا





Autour de Galois


Jusqu’à l’âge de ses douze ans, sa mère s’occupa entièrement de son éducation et de son instruction, ce qui peut aider à comprendre certains traits de la personnalité d’Évariste, qui fut parfois taxé d’« original » et de « bizarre », traits de caractère que l’on retrouvait d’après certains chez sa mère. Le garçonnet était cependant sérieux et aimable, grave et affectueux, et tenait une grande place dans la famille, n’hésitant pas à composer des dialogues ou à rimer des couplets lors des fêtes de famille, imitant là les plaisirs de son père. Aux années d’insouciance et de gaieté passées dans le cocon familial, succéda un grand vide lorsque Évariste entra comme interne en quatrième au collège Louis-le-Grand en octobre 1823, départ qui s’accompagna d’un changement de caractère de l’enfant. Et pour cause, il faut imaginer l’enfant sensible qu’était Évariste passer de la maison familiale douce et riante aux grilles du froid et vieux Louis-le-Grand où se mêlaient la passion du travail et des triomphes académiques ainsi que la passion des idées libérales nourries des souvenirs de la Révolution.

Lycée Louis-le-Grand
Lycée Louis-le-Grand

En dépit de ces bons résultats, Évariste ne tarda pas à s’ennuyer en classe de Seconde et à accuser un certain dégoût pour le travail scolaire. Le nouveau proviseur du collège Louis-le-Grand, Laborie, écrivit alors au père de Galois le 21 août 1826, pour lui proposer de faire redoubler son fils. Il pensait qu’une nouvelle seconde lui ouvrirait les yeux sur ses véritables intérêts, alors même que le garçonnet était las des exercices scolaires qui cloisonnaient son esprit.

Monsieur,

L’intelligence, l’esprit peuvent suppléer au travail, mais ne peuvent remplacer le jugement qui ne mûrit qu’avec l’âge. Telle est, n’en doutez pas, l’unique cause de la défaite qu’a éprouvée M. votre fils cette année. M. Roger, avec lequel je me suis longtemps entretenu sur son compte, m’a témoigné le désir de le voir redoubler. Quoique je vous en ai fait plusieurs fois en vain la proposition, je me détermine néanmoins avec plaisir à cette nouvelle démarche, car tout espèce d’amour-propre cesse chez moi du moment qu’il s’agit du bien-être d’un élève. Or dussé-je éprouver un nouveau refus, je ne craindrai pas de dire que cette mesure est l’unique moyen de ramener le succès du jeune homme et de ménager sa santé : qu’il se garde du reste de croire que ses nouveaux rivaux lui laisseront une victoire facile. Il aura affaire à une des meilleures classes du collège, et je ne doute pas que son travail ne doive être soutenu s’il veut se maintenir au premier rang. J’espère que, privé de nominations au Concours général et au lycée, il ouvrira les yeux sur ses véritables intérêts.

Laborie.

Bien que son père résista tout d’abord en cette rentrée 1826, dès le deuxième trimestre Évariste dut retourner en Seconde, après que son travail en Rhétorique fut jugé médiocre et son esprit trop jeune pour profiter de la classe. Sans aucun effort, le jeune homme retrouva le succès dans son travail.


1826-1827. RHÉTORIQUE, puis SECONDE ET MATHÉMATIQUES PRÉPARATOIRES
Premier trimestre

Notes d’étude.

Devoirs religieux. Bien.
Conduite. Bonne.
Travail. Soutenu.
Dispositions. Heureuses.
Progrès. Sensibles.
Caractère. Bon, mais singulier.

Cet élève, quoiqu’un peu bizarre dans ses manières, est très doux, et paraît rempli d’innocence et de bonnes qualités. J’ai eu l’occasion de m’apercevoir que l’ambition d’obtenir de bonnes places le guidait beaucoup plus que le désir de faire un bon devoir pour plaire à ses maîtres.

Rhétorique (notes de M. Camus).
Conduite. Dissipée.
Travail. Médiocre.
Rhétorique (notes de M. Desforges).
Conduite. Bien.
Travail. A du zèle.

C’est un esprit bien jeune pour profiter beaucoup en rhétorique.


Deuxième trimestre

Notes d’étude.

Devoirs religieux. Bien.
Conduite. Assez bien.
Travail. Satisfaisant.
Dispositions. Heureuses.
Progrès. Assez sensibles.
Caractère. Original et bizarre.

Cet élève, qui travaille bien la généralité de ses devoirs, et quelques-uns avec ardeur et goût, se rebute facilement quand la matière ne lui plaît pas, et alors il néglige le devoir. Il en est de même pour les leçons qu’il sait généralement bien, mais quelquefois qu’il n’apprend pas du tout. Jamais il ne sait mal une leçon : ou il ne l’a pas apprise du tout ou il la sait bien. Quant à ses qualités personnelles, elles sont bien difficiles à définir. Il n’est pas méchant, mais frondeur, singulier, bavard, aime à contrarier et à taquiner ses camarades.

Seconde.

Note de M. Saint-Marc-Girardin. Son travail n’est pas assez régulier ; sa conduite est passable.

Mathématiques préparatoires (note de M. Vernier). Zèle et succès.


Troisième trimestre

Notes d’étude.

Devoirs religieux. Bien.
Conduite. Passable.
Travail. Inconstant.
Dispositions. Heureuses.
Progrès. Peu satisfaisant.
Caractère. Original et bizarre.

Cet élève, sauf depuis quinze jours à peu près qu’il travaille un peu, n’a cultivé les facultés de sa classe que par la crainte de pensum, et par suite à coups de punitions ; tantôt, et c’était le plus souvent, il ne faisait pas la dernière partie de ses devoirs, et tantôt il les brochait, et pour quelques narrations latines, il ne faisait que transcrire la matière. Son ambition, son originalité souvent affectée, et la bizarrerie de son caractère le séparent de ses camarades.

D’après son ami Auguste Chevalier qu’« à seize ans, il commit la même erreur qu’Abel sur la résolution des équations générales du cinquième degré ». Peu de doute, Vernier son professeur était désorienté face à son élève qui, seul, s’était préparé aux examens de l’École polytechnique. Cet échec lui fut amer et il y vit une certaine injustice. Probablement d’ailleurs que sa fureur pour les mathématiques tenait de son intransigeante volonté de rentrer à l’École polytechnique où son cœur l’appelait. N’était-elle pas cette noble institution, fille de la Révolution, inébranlable, fidèle à ses origines et la sève de la jeunesse libérale ? Évariste se sentait fait pour l’École polytechnique, tout comme il la sentait faite pour lui.

L’École polytechnique de 1805 à 1976
L’École polytechnique de 1805 à 1976

En avril 1829, Évariste Galois publia aux Annales de Gergonne son premier mémoire, « Démonstration d’un théorème sur les fractions continues périodiques », et fit sa première communication à l’Académie des Sciences sur ses travaux concernant la résolubilité des équations algébriques . Voici ce qu’écrit son fidèle ami Auguste Chevalier : « Cette même année, à dix-sept ans, Galois fit des découvertes de la plus haute importance sur la théorie des équations. Cauchy se chargea de présenter à l’Académie des Sciences un extrait de la théorie conçue par le jeune collégien ; il l’oublia ; l’extrait fut perdu pour son auteur qui le réclama inutilement au secrétariat de l’Académie ; il avait été égaré. Le peu d’attention donné par l’Institut au premier travail soumis à son jugement par Galois commença pour lui des douleurs qui, jusqu’à sa mort, devaient se succéder de plus en plus vives. » S’il est vrai que Cauchy fut chargé de rapporter sur le travail en question, les historiens semblent s’accorder aujourd’hui sur le fait que Cauchy n’aurait cependant ni négligé ni égaré l’article du jeune homme comme l’atteste cette lettre datée du 18 janvier 1830 retrouvée dans les archives de l’Académie.

La preuve semble donc faite que, six mois après avoir reçu le mémoire, Cauchy était conscient du grand intérêt de ce travail et avait bien prévu de le présenter lors d’une séance prochaine de l’Académie. Ce qui pourrait expliquer le silence de Cauchy sur le mémoire de Galois lors de la séance suivante de l’Académie serait que ce dernier ait, au contraire, encouragé le jeune homme à réviser son mémoire pour le soumettre au Grand Prix de Mathématiques dont la date limite était fixée au 1er mars 1830. Cette version semble confortée par un article publié dans le journal Le Globe en juin 1831 qui rapporte que Cauchy aurait bien mentionné aux membres du jury son intérêt pour les travaux du jeune garçon : « M. Cauchy avait à ce sujet prodigué les plus grands éloges à son auteur. » Ce qui est certain, c’est que Fourier, secrétaire perpétuel de l’Académie, reçut effectivement en février 1830 un nouveau mémoire pour concourir au Grand Prix. Pour autant, aucune trace dudit mémoire ne fut trouvée dans les papiers de Fourier qui mourut en mai de la même année. Le malheureux Galois ne put se résoudre à voir dans cette mésaventure qu’une inopportune malchance. C’est finalement Abel qui reçut à titre posthume le prix.



Niels Abel (1802-1829)

JPEG - 9.7 ko

Suivant les cours de Mathématiques spéciales, Galois n’avait plus de classes de Lettres à suivre ; pour autant, l’administration ne se satisfaisait pas du tout de ses médiocres résultats en Physique. Deux drames finirent d’épuiser le garçon.

Depuis les élections de 1827, les libéraux et le clergé se livraient une lutte sans relâche. Un jeune prêtre, récemment nommé au Bourg-la-Reine, prit position contre le maire qui depuis quinze ans avait su conserver son indépendance face aux luttes de pouvoir. Une campagne calomnieuse contre Nicolas-Gabriel Galois fut montée, si vive qu’elle finit par déchirer l’honneur de cet homme qui, profitant d’une absence de sa femme, s’asphyxia dans son appartement de Paris le 2 juillet 1829, à deux pas du collège Louis-le-Grand. Galois conduisit le deuil de son père et suivit le cercueil jusqu’au cimetière du Bourg-la-Reine où le conseil municipal avait offert une tombe. Devant l’église où le clergé attendait le cortège, il y eut une petite émeute : le curé fut insulté et blessé d’une pierre au front. L’âme d’Évariste Galois fut meurtrie par cet événement, lui qui haïssait l’injustice et s’en croyait déjà victime.



Évariste Galois (1811-1832)

PNG - 303.7 ko

Quelques semaines plus tard, un deuxième drame s’abattit sur les épaules du jeune homme. À la surprise de tous, il échoua pour la deuxième fois à l’École polytechnique. D’après Bertrand, Dinet, l’examinateur, avait pour habitude de poser des questions simples jugeant les candidats « à l’assurance et à la fermeté de leur démarche ». Dinet voulut entendre Galois sur la théorie des logarithmes arithmétiques. Ce dernier aurait été surpris d’une telle demande : « pourquoi ne pas lui demander simplement la théorie des logarithmes ? » Il fit une réponse banale accompagnée d’une réplique un peu sèche à une question subsidiaire. Dinet considéra l’attitude de Galois suffisamment impertinente pour lui mettre une note éliminatoire pendant que le garçon voyait sa vie lui échapper...

Vingt après, on retrouvait un écho de la colère que cet échec excita chez tous ceux qui connaissaient le jeune homme, dans une courte note de Terquem aux Nouvelles Annales de Mathématiques jugeant sévèrement cette attitude : « Un candidat d’une intelligence supérieure est perdu chez un examinateur d’une intelligence inférieure.... M. Liouville, qui nous a fait connaître le génie de Galois, ne l’aurait pas jugé inacceptable. Barbarus hic ego sum quia non intelligor ! »

La mort de son père et maintenant son échec à l’École polytechnique exaspérèrent Évariste Galois et sa haine de l’injustice et des bassesses de ce monde. Nourri d’un sentiment de persécution et en partie désespéré, il fut nommé le 25 octobre 1829 à l’École préparatoire  et y entra comme un polytechnicien en exil ** .



Porte du 45 rue d’Ulm

JPEG - 59.2 ko

Rèf: Images des mathématiques


**  Voici deux documents très intéressants conservés aux Archives nationales : le sujet du concours d’entrée à l’École préparatoire de 1829 et la copie d’Évariste Galois.


Télécharger
Le sujet du concours
galois_sujet.pdf
Document Adobe Acrobat 923.9 KB
Télécharger
Copie de Galois
galois_copie.pdf
Document Adobe Acrobat 792.2 KB

Evariste Galois et la théorie de l’ambiguïté


 

 

Benoît Mandelbrot et les objets fractals

Son parcours atypique est bien connu : après avoir été professeur à l’Université de Lille, il prend un poste à IBM où il devient très vite IBM Fellow, ce qui lui assure une très grande liberté. Au début des années 80, en prenant sa retraite d’IBM il devient professeur à Harvard, mais c’est à Yale qu’il s’établit de façon durable.

Ses travaux des années 60 et du début des années 70 l’ont amené à publier un manifeste « Les objets fractals » dans lequel il montrait que des objets, jusqu’alors considérés par une grande partie de la communauté mathématique comme des curiosités, voire même des objets tératologiques, se rencontraient partout dans la nature. Il donnait une foule d’exemples dans une multitude de domaines : géographie, géologie, hydrologie, météorologie, métallurgie, physique, finance...

Il y a eu ensuite une certaine période de latence à l’issue de laquelle s’est tenu en 1983 à Courchevel le premier colloque sur les fractals. C’était un colloque pluridisciplinaire, comme l’ont été ceux des dix années suivantes. Ces congrès étaient passionnants et très stimulants.

Icône absolue des fractales, l’ensemble de Mandelbrot frappe l’œil et l’imagination !

Si vous voulez comprendre la nature de cet ensemble, lisez cet article.

Mandelbrot n’est certes pas l’inventeur des dimensions fractionnaires, mais c’est bien lui l’inventeur du concept de fractal, qui transcende le cadre purement mathématique. Comme tout concept, il n’est pas facile à définir. Pendant quelque temps, on l’a pressé d’en donner une définition mathématique. Il s’y est toujours refusé. Il ne semble en effet pas possible, ni même souhaitable, d’englober dans une même définition les objets mathématiques et les objets « réels » qu’ils modélisent. Disons que la formulation la moins réductrice serait qu’un objet fractal présente sur un nombre suffisant d’échelles une certaine auto-similarité ou auto-affinité (déterministe ou statistique).

Voici le genre d’images qu’on peut trouver sur Internet :


PARADOXES

Le paradoxe ici porte sur de simples découpages comme celui-ci.


En apparence le même triangle est rempli deux fois par les mêmes pièces, bien que la seconde fois un carré blanc supplémentaire soit présent. Cela semble impossible puisque déplacer des pièces ne peut pas diminuer ou augmenter la surface qu’elles occupent !

Il s’agit d’une arnaque assez élémentaire qu’un regard attentif permet de dénoncer facilement. En réalité, aucune des deux figures n’est un vrai triangle. En effet, la pente de l’hypoténuse du petit triangle rectangle rouge est 2/5 = 0,4 (il y a 2 cases de hauteur et 5 de largeur) alors que celle du petit triangle orangé est de 3/8 = 0,375 : les deux hypoténuses ne s’alignent pas l’une avec l’autre. Dans le premier dessin, le « pseudo-triangle » est légèrement creusé, alors que le second « pseudo-triangle » est légèrement gonflé (ce qui explique qu’on puisse y loger un carré blanc de plus).


Le même genre d’explications s’applique aux autres figures.

5 × 13 = 8 × 8?

5 × 13 = 8 × 8?

10 × 13 = 8 × 8 + 8 × 8?

10 × 13 = 8 × 8 + 8 × 8?

12 × 10/2 = 12 × 10/2 – 2 = 7 × 9 – 4?

12 × 10/2 = 12 × 10/2 – 2 = 7 × 9 – 4?

Réf : accromath



Poincaré : philosophe et géomètre

Poincaré philosophe ?


Carl Friedrich Gauß mourut en 1855. Celui qui peut être considéré comme son successeur était né un an plus tôt : le titre de Princeps Mathematicorum, que seul Gauß avait porté, fut en effet repris pour la première fois en 1912/13 pour Poincaré. L’attribution est formulée dans le supplément de juillet 1913 que le Circolo Matematico di Palermo, un des grands périodiques mathématiques de l’époque, consacre à Poincaré. Le numéro reproduit entre autres les éloges de Paul Appell, de Georges Humbert, de Gabriel Lippmann et de Paul Painlevé, qui comparent Poincaré non seulement à Gauß et à Cauchy, mais également à Pascal, Kant et Leibniz [1].

PNG - 54.1 ko
Raymond Poincaré

Certes, le cousin germain de Henri, Raymond Poincaré, est à l’époque Président de la République Française, et les auteurs parlent en bons Français. Il n’en reste pas moins que Poincaré est considéré à l’époque au niveau international comme l’un des derniers savants universels à avoir mené une activité créatrice dans des domaines qui s’étendent des mathématiques à la physique aussi bien que de l’astronomie à la philosophie.

Poincaré ne fut-il pas d’abord et avant tout un mathématicien et un physicien qui, par sa réputation internationale, a été conduit, à l’instar de maints prix Nobel aujourd’hui, à commenter en philosophe les choses qu’il ignorait ? Si la philosophie des sciences se réduisait à l’étude des doctrines philosophiques et de leur succession dans le temps, l’œuvre de Poincaré y contribuerait effectivement peu. Mais si nous adoptons un point de vue systémique en philosophie des sciences, nous nous rendons compte que, au moins rétrospectivement, les idées de Poincaré ont une portée plus significative que celles de beaucoup de philosophes professionnels de notre temps. Ainsi, ses réflexions sur la relation entre le langage scientifique et ses objets s’avèrent aujourd’hui plus pénétrantes qu’elles n’apparaissaient à l’époque. Il faut dire que le succès de la formalisation rendait alors beaucoup de philosophes aveugles.

Quelques philosophes des sciences ont cependant été plus perspicaces. Ainsi, dans les Actes du Congrès International de Philosophie scientifique, qui s’est tenu à Paris en 1935, Louis Rougier note en avant-propos « que la Sorbonne ne demandait qu’à renouer la tradition, inaugurée avec tant de maîtrise au début du XXe siècle, par le rénovateur en France de la philosophie scientifique, Henri Poincaré » [2]. Karl Popper estime quant à lui que Poincaré a été le plus grand philosophe des sciences [3]. Pourtant, il est en même temps clair que la philosophie de Poincaré reste ignorée en dehors du cercle des spécialistes. Ceci paraît justifié si, d’une part, l’on se confine à ce que dit Poincaré explicitement de la philosophie hors contexte scientifique [4] et que, d’autre part, l’on renonce à lire ses réflexions mathématiques.

La raison pour laquelle les publics philosophique et scientifique ignorent la philosophie de Poincaré est en fait double : d’un côté, la manière dont on la comprend dépend de ce que l’on entend par « philosophie » (c’est la difficulté pour le scientifique) et d’un autre côté, la réflexion philosophique se déploie chez Poincaré au sein même de la réflexion scientifique (c’est la difficulté pour le philosophe). Dans la suite, je n’esquisserai que succinctement ce qu’il convient d’entendre par « philosophie » pour me concentrer avant tout sur le second point, à savoir : comment le mathématicien Poincaré articulait réflexions « philosophique » et mathématiques. Je discuterai cette question sur l’exemple de la géométrie.